7.5 空间曲面与空间曲线

发布于:2021-06-11 07:24:25

§7.5 空间曲面与空间曲线
一 二 三 曲面方程的概念 曲线方程的概念 二次曲面的截痕法

一 曲面方程的概念
1 曲面方程的定义 如果曲面 S 与三元方程

F ( x, y, z ) ? 0
有下述关系:
(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程;

那么,方程 F ( x , y , z ) ? 0 就叫做曲面 S 的方程,
而曲面 S 就叫做方程的图形.

例1

求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为 1 : 2 设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点, 根据题意有

的点的全体所组成的曲面方程.


| MO | 1 ? , | MM 0 | 2
x2 ? y2 ? z2

? x ? 2? ? ? y ? 3? ? ?z ? 4?
2 2

2

1 ? , 2
2

2? 4? 116 2 ? ? . 所求方程为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? ? z ? ? ? 3? 3? 9 ? ?

2

例2

已知A(1,2,3), B( 2,?1,4), 求线段 AB 的垂直*分

面的方程. 解 设 M ( x , y , z ) 是所求*面上任一点, 根据题意有

| MA |?| MB |,

? x ? 1? ? ? y ? 2? ? ? z ? 3?
2 2

2

?
化简得所求方程

? x ? 2? ? ? y ? 1? ? ?z ? 4? ,
2 2 2

2 x ? 6 y ? 2 z ? 7 ? 0.

2 几种常见的曲面 (1)球面 设球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 半径为 R,

下面建立

球面方程. 设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点, 根据题意有

| MM 0 |? R

? x ? x0 ?
所求方程为

2

? ? y ? y0 ? ? ? z ? z0 ? ? R
2 2
2 2

? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? ? z ? z0 ?
2

? R2

(球面方程的标准式)
特殊地:球心在原点时方程为 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2

将标准方程展开得 2 2 2 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 x0 x ? 2 y0 y ? 2 z0 z ? x0 ? y0 ? z0 ? R 2 ? 0 由此可见球面方程的特点 1) 是 x, y, z 的二次方程 x 2 , y 2 , z 2 的系数为1(或相等) 2) 3)不含 xy, yz, zx 项 球面方程又可表示为
x 2 ? y 2 ? z 2 ? Ax ? By ? Cz ? D ? 0

(球面方程的一般式)

(2)柱面 定义 *行于定直线 l 并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫 柱面 的准线, 动直线 L 叫 柱面的 母线.
l

L

C

下面建立母线*行于 z 轴,准线为 xOy *面曲线
f ( x , y ) ? 0 的柱面方程。
z

设 M ( x , y , z )为柱面上 任意一点,过 M 作*行 z 轴的直线交 xOy *面 曲线 f ( x , y ) ? 0 上的点 M1 ( x1 , y1 ,0), 因此
x x1 ? x , y1 ? y 由于 M 1 在 xOy *面曲线 o

?

M ( x, y, z )
y

?

M1 ( x1 , y1 ,0)

将 f ( x , y ) ? 0 上, x1 ? x , y1 ? y 代入得柱面方程 f ( x, y) ? 0

从柱面方程看柱面的特征:

只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) ? 0 在空间直角坐标 系中表示母线*行于 z 轴的柱面, 其准线为 xoy 面上
曲线 C . 只含 y, z 而缺 x 的方程 F ( y , z ) ? 0 在空间直角坐标 系中表示母线*行于 x 轴的柱面,其准线为 yoz 面上 曲线 C . 只含 z, x 而缺 y 的方程 F ( z , x ) ? 0 在空间直角坐标

系中表示母线*行于 y 轴的柱面,其准线为 zox 面上
曲线 C .

z

柱面举例 母线*行于 z 轴的*面y ? x
z

o

y

x

y? x

x2 y2 母线*行于 z 轴的椭圆柱面 2 ? 2 ? 1 a b x
o x
y

母线*行于 x 轴的抛物柱面
z ? 2 py
2

o
z
y

(3)旋转曲面
定义 一条*面曲线 绕其所在*面上的一条定 直线旋转一周所成的曲面 称为旋转曲面. 这条定直 线叫旋转曲面的轴.

旋转轴

求由 yOz *面曲线 f ( y, z ) ? 0 绕 z 轴旋转一周所得 z 的旋转面方程。 设旋转面上任意一点 M ( x , y , z ) 是由 yOz * o? ? ? M 1 (0, y1 , z1 ) ? 面的曲线 f ( y, z ) ? 0 上 M ( x, y, z ) 一点 M1 (0, y1 , z1 ) 绕 z
o

轴旋转而得的, 则

f ( y, z ) ? 0
2

y

x ? y ?| y1 | x 将上式代入 f ( y1 , z1 ) ? 0 得方程
2

z ? z1 ,

f ?

?

x 2 ? y 2 , z ? 0,

?

yoz 面上曲线 f ( y , z ) ? 0 绕 z 轴的旋转曲面方程.

yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) ? 0 绕 y 同理:
轴旋转一周的旋转曲面方程为

f y , ? x 2 ? z 2 ? 0. xoy 坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) ? 0 绕 y 轴旋转
一周的旋转曲面方程为

?

?

f (? x ? z , y ) ? 0
2 2

例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程. y2 z2 ① yoz面上双曲线 2 ? 2 ? 1 分别绕 y 轴和 z 轴; a c 旋 y2 x2 ? z2 转 ?1 绕 y 轴旋转 2 ? 2 a c 双 曲 x2 ? y2 z2 绕 z 轴旋转 ? 2 ?1 面 2 z a c z
o
y

o
y

x

x

y2 z2 ② yoz 面上椭圆 2 ? 2 ? 1 绕 z 轴; a c z 旋 2 2 2 转 x ?y z ? 2 ?1 椭 2 o a c 球 面
x

y

③ xoy 面上抛物线 2 py ? x 2 绕 y 轴;
y

x 2 ? z 2 ? 2 py

旋转抛物面
x o
z

④ yoz 面上直线 z ? y 绕 z 轴;

z

z ? ? x2 ? y2

z ?x ?y
2 2

2

圆锥面
x

o

y

(4)锥面 通过定点 M 动直线 L
沿定曲线 C 移动所形成的 曲面称为锥面, 定点 M 称 为锥面的顶点, 动直线 L 称为锥面的母线,定曲线
L

? M

C 称为锥面的准线。
C

x2 y2 例4 建立以椭圆 2 ? 2 ? 1, z ? c ? 0 为准线, z a b 坐标原点为顶点的锥面方程。 M ?( x?, y?, c ) 解 设点 M ( x , y , z ) 锥面 ? M ( x, y, z ) ? 上任意一点,过点 M 的母线

交椭圆于点 M ?( x?, y?, c ), 由
???? ???? ? OM // OM ?
x? ? cx cy ?? ,y z z
2 2

o?

y

x y z ? ? x ? y? c

x

锥面方程为
2

x y z ? 2 ? 2 2 a b c

椭圆锥面

二 曲线方程的概念
1 空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.

?F ( x, y, z ) ? 0 ? ?G ( x , y , z ) ? 0

z

S1

S2
o
x

C

y

? x2 ? y2 ? 1 表示怎样的曲线? 例5 方程组 ? ?2 x ? 3 y ? 3z ? 6 2 2 x ? y ?1 解
表示圆柱面,

2 x ? 3 y ? 3z ? 6
表示*面,

? x2 ? y2 ? 1 ? ?2 x ? 3 y ? 3z ? 6
交线为椭圆.

2 空间曲线的参数方程

? x ? x(t ) ? ? y ? y( t ) ? z ? z(t ) ?

(? ? t ? ? )

例6 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 ? y 2 ? a 2上从点 A(a ,0,0)出发,以角速度 ? 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度

v *叫 于 z 轴的正方向上升(其中?、v 都是常数),

那么点 M 构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.



动点从 A 点出发, 取时间t为参数, 经过t时间,运动到M ( x, y, z) 点, M 在 xoy 面的投影为M ?( x , y ,0)

z

x ? a cos? t v 则 y ? a sin ? t ,记 ? ? ? t , b ? ? z ? vt
? x ? a cos? ? 即有 ? y ? a sin ? ? z ? b? ?
y

?t

o
x A

M
?

M?

? x2 ? y2 ? z2 ? 4 例7 将曲线方程 ? 化为参数式方程。 ?y ? z

解 将 z ? y 代入 x ? y ? z ? 4 得
2 2 2

x2 y2 x ? 2y ? 4, 即 ? ? 1. 4 2
2 2

参数式方程为:

x ? 2 cos t y ? 2 sin t z ? 2 sin t

3 空间曲线在坐标面上的投影

?F ( x, y, z ) ? 0 设空间曲线 L 的一般方程: ? ?G ( x , y , z ) ? 0
消去变量 z 后得:H ( x , y ) ? 0 称此曲面为曲线 L 关于 xoy 面的投影柱面。
? H ( x, y) ? 0 为曲线 L 在 xoy面的投影曲线。 称曲线 ? ?z ? 0

类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.

? R( x , z ) ? 0 R 的投影柱面: ( x , z ) ? 0, zox 面上的投影曲线? ; ?y ? 0

?F ( x, y, z ) ? 0 消去 y 得曲线 L 关于 zox 面 ? ?G ( x , y , z ) ? 0

?F ( x, y, z ) ? 0 消去 x 得曲线 L 关于 yoz面 ? ?G ( x , y , z ) ? 0
?Q( y, z ) ? 0 的投影柱面: ( y, z ) ? 0, yoz面上的投影曲线 ? Q . x?0 ?

? x 2 ? y 2 ? ( z ? 1)2 ? 1 例8 求曲线? 在 xoy面上的投影. ? 3 ?z ? ? 2 解 消去变量 z 后得关于 xoy 的投影柱面 z

3 x ?y ? , 4
2 2

在 xoy 面上的投影为
3 ? 2 2 ?x ? y ? 4, ? ?z ? 0 ?

o

y

例9 设一个立体 , 由*肭蛎 z ? z?
2

4 ? x2 ? y2 和

? y2 ) 锥面所围成 , 求它在 xoy 面上的投影 . 3( x z 解 半球面和锥面的交线为

?z ? 4 ? x2 ? y2 , ? C :? ? z ? 3( x 2 ? y 2 ), ? 消去 z 得投影柱面 x 2 ? y 2 ? 1, 则交线 C 在 xoy 面上的投影为 x

o

y

? x 2 ? y 2 ? 1, ? ? z ? 0. ? 所求立体在 xoy 面上的投影为 一个圆面: 2 2 x ? y ? 1.

三 二次曲面的截痕法
二次曲面的定义:

三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面.
讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和*行于坐标面的*面与曲面相截,考察 其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解 曲面的全貌. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面.

1 椭球面

z
?

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ?1 2 a b c
椭球面与*面 z ? z1 的交线为椭圆
o
y

? x y ? 2 ?1 ?a2 ? b 2 2 2 2 (c ? z1 ) ? 2 (c ? z1 ) 2 c ?c ? z ? z1 | z1 |? c ?
2 2

x

同理与*面 x ? x1 和 y ? y1 的交线也是椭圆.

椭球面的几种特殊情况:
(1) a ? b,

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? 1 旋转椭球面 2 a a c x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? 1 球面 2 a a a

( 2) a ? b ? c ,

2 双曲面

z

x y z ? 2 ? 2 ? 1 单叶双曲面 2 a b c
z

2

2

2

o
y

?
o x
y

x

?

x y z ? 2 ? 2 ? ?1 2 a b c

2

2

2

双叶双曲面

3 抛物面

x y ? ? z ( p 与 q 同号) 椭圆抛物面 2 p 2q z
设 p ? 0, q ? 0 ,图形如下:

2

2

? o
x

y

x2 y2 ? ? ? z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面(马鞍面) 设 p ? 0, q ? 0 ,图形如下:
z

0

y

x


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