2014年高考文科数学真题解析分类汇编:D单元 数列(纯word可编辑)

发布于:2021-12-03 00:09:00

数 D 单元 D1 学 数列 数列的概念与简单表示法 3n2-n 17. 、 、[2014· 江西卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列. 3n2-n 17.解:(1)由 Sn= ,得 a1=S1=1.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1 也符合 2 上式,所以数列{an}的通项公式为 an=3n-2. 2 (2)证明:要使得 a1,an,am 成等比数列,只需要 a2 (3m-2), n=a1·am,即(3n-2) =1· 2 * 即 m=3n -4n+2.而此时 m∈N ,且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列. 18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值. 2(5x-2)(x-2) 2 18.解:(1)当 a=-4 时,由 f′(x)= =0 得 x= 或 x=2,由 f′(x)>0 5 x 2? 得 x∈? ?0,5?或 x∈(2,+∞). 2? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,5?和(2,+∞). (10x+a)(2x+a) (2)因为 f′(x)= ,a<0, 2 x a a 所以由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- . 10 2 a a? ? ? a 当 x∈ ? ?0,-10? 时 , f(x) 单 调 递 增 ; 当 x∈ ?-10,-2? 时 , f(x) 单 调 递 减 ; 当 a ? x∈? ?-2,+∞?时,f(x)单调递增. a - ?=0. 易知 f(x)=(2x+a)2 x≥0,且 f? ? 2? a ①当- ≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2=8, 2 得 a=± 2 2-2,均不符合题意. a? a ②当 1<- ≤4 时,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]时的最小值为 f? ?-2?=0,不符合题 2 意. a ③当- >4 时,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 时取得,而 2 f(1)≠8,由 f(4)=2(64+16a+a2)=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去). 当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 1 16.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足 an+1= ,a =2,则 a1=________. 1-an 8 1 16. 2 1 1 1 1 1 [解析] 由题易知 a8= =2,得 a7= ;a7= = ,得 a6=-1;a6= 2 1-a7 1-a6 2 1-a5 1 =-1,得 a5=2,于是可知数列{an}具有周期性,且周期为 3,所以 a1=a7= . 2 D2 等差数列及等差数列前 n 项和 2.[2014· 重庆卷] 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 2.B [解析] 由题意,得 a1+2d+a1+4d=2a1+6d=4+6d=10,解得 d=1,所以 a7 =a1+6d=2+6=8. 5.[2014· 天津卷] 设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1, S2,S4 成等比数列,则 a1=( ) A.2 B.-2 1 1 C. D.- 2 2 4×3 5.D [解析] ∵S2=2a1-1,S4=4a1+ ×(-1)=4a1-6,且 S1,S2,S4 成等比数列, 2 1 ∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得 a1=- . 2 15. 、[2014· 北京卷] 已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4, b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 15.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 d= = =3. 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 q3= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3 所以 bn-an=(b1-a1)qn 1=2n 1. - 从而 bn=3n+2n 1(n=1,2,?). - (2)由(1)知 bn=3n+2n 1(n=1,2,?). - - 1-2n n 3 n-1 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2 }的前 n 项和为 1× =2 -1, 2 1-2 3 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2 17. ,[2014· 福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 17.解:(1)设{an}的公比为 q,依题意得 ? ? ?a1q=3, ?a1=1, ? ? 解得 4 ?a1q =81, ?q=3. ? ? 因此,an=3n 1. (2)因为 bn=log3an=n-1, - n(b1+bn) n2-n 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= = . 2 2 19. 、 、[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>6

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