2013年高考新课标I卷理科数学试题及答案(word解析版)

发布于:2021-12-02 22:56:33

2013 年普通高等学校招生全国统一考试
新课标(1)理科数学(完整解析版)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题共 12 小题。 每小题 5 分, 共 60 分。 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的一项。 1、已知集合 A={x|x2-2x>0} ,B={x|- 5<x< 5},则 A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B ( )

【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是 容易题. 【解析】A=(- ? ,0)∪(2,+ ? ), ?A∪B=R,故选 B. 2、若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 ( ) A、-4 (B)- 4 5 (C)4 4 (D) 5

【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题. 【解析】由题知 z =
| 4 ? 3i | 4 42 ? 32 (3 ? 4i) 3 4 = = ? i ,故 z 的虚部为 ,故选 D. 3 ? 4i 5 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 5 5

3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进 行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大 差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最 合理的抽样方法是按学段分层抽样,故选 C. x2 y2 5 4、已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐*线方程为 a b 2 ( ) 1 A、y=〒 x 4 1 (B)y=〒 x 3 1 (C)y=〒 x 2 (D)y=〒x

-1-

【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题. 【解析】由题知,
5 c 2 a 2 ? b2 b 1 b2 1 c 5 ,即 = 2 = ,? = ,? = ? ,? C 的 ? 2 2 4 a a 2 a a 4 a 2

1 渐*线方程为 y ? ? x ,故选 C . 2 5、执行右面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于 ) A、[-3,4] B、[-5,2] C、[-4,3] D、[-2,5]

(

【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法,是简单题. 【解析】 有题意知, 当 t ? [?1,1) 时,s ? 3t ? [?3,3) , 当 t ?[1,3] 时,s ? 4t ? t 2 ? [3, 4] , ?输出 s 属于[-3,4],故选 A . 6、如图,有一个水*放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在 容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容 器的厚度,则球的体积为 ( ) 500π 3 cm 3 866π 3 cm 3 1372π 3 cm 3 2048π 3 cm 3

A、

B、

C、

D、

-2-

【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易题. 【解析】设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到 截 面 圆 的 距 离 为 R-2 , 则 R2 ? ( R ? 2)2 ? 42 , 解 得 R=5 , ? 球 的 体 积 为
4? ? 53 500π 3 cm ,故选 A. = 3 3

7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m= ( ) A、3 B、4 C、5 D、6 【命题意图】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式,考查方程思 想,是容易题. m(a1 ? am ) 【解析】有题意知 Sm = =0,? a1 =- am =-( Sm - Sm?1 )=-2, 2

am?1 = Sm?1 - Sm =3,?公差 d = am?1 - am =1,?3= am?1 =- 2 ? m ,? m =5,故选 C.
8、某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( A、16+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π )

【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体 积公式,是 中档题. 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边

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1 放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其体积为 ? ? 22 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 = 16 ? 8? , 2 故选 A . 9、设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1 展开式 的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m= ( )

A、5 B、6 C、7 D、8 【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想, 是容易题.
m m ?1 m m ?1 b 【解析】由题知 a = C2 m , = C2 m ?1 ,?13 C2 m =7 C2 m ?1 ,即

13 ? (2m)! 7 ? (2m ? 1)! = , m !m ! (m ? 1)!m !

解得 m =6,故选 B. 10、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 A、 () D、 + =1 18 9

x2 y2 a b

x2
45



=1 36

y2

B、

+ =1 36 27

x2

y2

C、

+ =1 27 18

x2

y2

x2

y2

【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题. 【解析】设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 =2, y1 ? y2 =-2,
x12 y12 ? ?1 a 2 b2



2 2 x2 y2 ? ?1 a 2 b2



①-②得 ? k AB =

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, a2 b2

0 ?1 1 b2 1 y1 ? y2 b2 ( x ? x ) b 2 =? 2 1 2 = 2 , 又 k AB = = , ? 2= , 又 9= c2 = a 2 ? b 2 , 3 ?1 2 a 2 x1 ? x2 a ( y1 ? y2 ) a

解得 b2 =9, a 2 =18,?椭圆方程为
2 ?-x +2x 11、已知函数 f(x)=? ?ln(x+1)

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 D. 18 9

x≤0 x>0

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是(

) A、 (-≦,0] B、 (-≦,1] C、[-2,1] D、[-2,0] 【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,是难题。
?x ? 0 ? x 2 ? 2 x, x ? 0 【 解 析 】 ≧ | f ( x) |= ? , ? 由 | f ( x) | ≥ ax 得 , ? 2 且 ? x ? 2 x ? ax ?ln( x ? 1), x ? 0

-4-

?x ? 0 , ? ?ln( x ? 1) ? ax
?x ? 0 由? 2 可得 a ? x ? 2 ,则 a ≥-2,排除A,B, ? x ? 2 x ? ax

当 a =1 时,易证 ln( x ? 1) ? x 对 x ? 0 恒成立,故 a =1 不适合,排除 C,故选 D. 12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=

cn+an
2

,cn+1=

bn+an
2

,则(

)

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【命题意图】本题主要考查由递推公式求通项公式,三角形面积海伦公式,属 于难题 【解析】B

b1 ? 2a1 ? c1 ? 0且b1 ? c1 ?2a1 ? c1 ? c1 ?a1 ? c1 ?b1 ? a1 ? 2a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? 0?b1 ? a1 ? c1
又b1 ? c1 ? a1 ? 2a1 ? c1 ? c1 ? a1 ? 2c1 ? a1 ? c1 ? 由题意,bn ?1 ? cn ?1 ? a1 2

bn ? cn 1 ? a1 ? bn ?1 ? cn ?1 ? 2a1 ? (bn ? cn ? 2a1 ) 2 2

?bn ? cn ? 2an ? 0?bn ? cn ? 2an ? 2a1 ?bn ? cn ? 2a1
cn ? bn 2a ? b ? b ? bn ?1 ? (2a1 ? bn ?1 ) ? 1 n n ? a1 ? bn 2 2 1 1 n ?1 ? bn ?1 ? a1 ? (a1 ? bn ) ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) 2 2 1 n ?1 1 ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) , cn ? 2a1 ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 2 2 又由题意,bn ?1 ? cn ?1 ?

? Sn 2 ?

3a1 3a1 1 ? ? 3a 1 ? ? 3a ( ? a1 ) ? 1 ? a1 ? (b1 ? a1 )(? )n?1 ? ? 1 ? a1 ? (b1 ? a1 )(? )n?1 ? 2 2 2 ?? 2 2 ? ? 2

? ?a 2 ? 3 ?a 2 1 ? a12 ? 1 ? ( )n?1 (b1 ? a1 )2 ? 单调递增(可证当n=1时 ? 1 ? (b1 ? a1 )2 ? ? 0) 4 ? 4 4 ? ? 4 ?
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个 考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
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13、 已知两个单位向量a, b的夹角为60°, c=ta+(1-t)b, 若b〃 c=0, 则t=_____. 【命题意图】本题主要考查*面向量的数量积,是容易题. 1 1 【解析】 b ?c = b ? [ta ? (1 ? t )b] = ta ? b ? (1 ? t )b2 = t ? 1 ? t = 1 ? t =0,解得 t = 2 . 2 2 2 1 14、若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是 an=______. 3 3 【命题意图】 本题主要考查等比数列定义、 通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和 的关系,是容易题. 2 1 【解析】当 n =1 时, a1 = S1 = a1 ? ,解得 a1 =1, 3 3 2 1 2 2 2 1 当 n ≥2 时, an = Sn ? Sn?1 = an ? -( an ?1 ? )= an ? an ?1 ,即 an = ?2an?1 , 3 3 3 3 3 3 ?{ an }是首项为 1,公比为-2 的等比数列,? an = (?2)n?1 . 15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______ 【解析】≧ f ( x) = sin x ? 2 cos x = 5(

5 2 5 sin x ? cos x) 5 5

令 cos ? =

5 2 5 , , 则 f ( x) = 5(sin x cos ? ? sin ? cos x) = 5 sin( x ? ? ) , sin ? ? ? 5 5

当 x ? ? = 2 k? ?

?
2

, k ? z ,即 x = 2k? ?

?
2

? ? , k ? z 时, f ( x) 取最大值,此时

? = 2 k? ?

?
2

? ? , k ? z ,? cos ? = cos(2k? ?

?
2

? ? ) = sin ? = ?

2 5 . 5

本题还可用反三角函数理解,求解。 16、若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值 是______. 【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题. 【解析】由 f ( x) 图像关于直线 x =-2 对称,则 0= f (?1) ? f (?3) = [1 ? (?3)2 ][(?3)2 ? 3a ? b] , 0= f (1) ? f (?5) = [1 ? (?5)2 ][(?5)2 ? 5a ? b] ,解得 a =8, b =15, ? f ( x) = (1 ? x2 )( x2 ? 8x ? 15) , ? f ?( x ) = ?2x( x2 ? 8x ? 15) ? (1 ? x2 )(2x ? 8) = ?4( x3 ? 6 x2 ? 7 x ? 2) = ?4( x ? 2)( x ? 2 ? 5)( x ? 2 ? 5) 当 x ∈(-≦, ?2 ? 5 )∪(-2, ?2 ? 5 )时, f ?( x ) >0,
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当 x ∈( ?2 ? 5 ,-2)∪( ?2 ? 5 ,+≦)时, f ?( x ) <0, ? f ( x) 在(-≦, ?2 ? 5 )单调递增,在( ?2 ? 5 ,-2)单调递减,在(- 2, 单调递增, 在 ( ?2 ? 5 , +≦) 单调递减, 故当 x = ?2 ? 5 和 x = ?2 ? 5 ?2 ? 5 ) 时取极大值, f (?2 ? 5) = f (?2 ? 5) =16. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC= 90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA

【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公 式,是容易题. 【解析】 (Ⅰ)由已知得,∠PBC= 60 o ,?∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理
1 1 7 7 得 PA2 = 3 ? ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,?PA= ; 4 2 4 2

( Ⅱ )设∠ PBA= ? ,由已知得, PB= sin ? ,在 △ PBA 中,由正弦定理得,

3 sin ? ,化简得, 3 cos ? ? 4sin ? , ? o sin150 sin(30o ? ? )
? tan ? =
3 3 ,? tan ?PBA = . 4 4

18、 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1, (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; 弦值。
-7-

∠BAA1=60°.

(Ⅱ)若*面 ABC⊥*面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与*面 BB1C1C 所成角的正

【命题意图】 本题主要考查空间线面、 线线垂直 的判定与性质及线面角的计算, 考查空间想象能力、逻辑推论证能力,是容易题. 【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, A1B , A1E , ≧AB= AA1 , ?BAA1 = 60 0 ,? ?BAA1 是正三角形, ? A1E ⊥AB, ?AB⊥ AC 1 ; ≧CA=CB, ?CE⊥AB, ……6分 ≧ CE ? A1E =E,?AB⊥面 CEA1 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又≧面 ABC⊥面 ABB1 A1 ,面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB,?EC⊥面 ABB1 A1 ,?EC⊥ EA1 ,
??? ? ??? ? ?EA, EC,EA1 两两相互垂直, 以 E 为坐标原点,EA 的方向为 x 轴正方向, | EA |

为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz ,

??? ? 有题设知 A(1,0,0), A1 (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B( - 1,0,0), 则 BC = ( 1,0 ,

???? ???? ???? 3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), AC 1 =(0,- 3 , 3 ),
设 n = ( x, y, z ) 是*面 CBB1C1 的法向量,
??? ? ? ? ?n ? BC ? 0 ? x ? 3z ? 0 则 ? ???? ,即 ? ,可取 n =( 3 ,1,-1), ? ? ?n ? BB1 ? 0 ?x ? 3y ? 0 ???? ???? n ? A1C 10 ???? ? cos n, A1C = , | n || A1C | 5

……9 分

?直线 A1C 与*面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

……12 分

19、 (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检 验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能 通过检验。 1 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为 2 ,且 各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这
-8-

批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望。 【命题意图】 【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A,第一次取出的 4 件产品中全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C, 第 二次取出的 1 件产品是 优质品为事件 D, 这批产品通过检验为事件 E, 根据题 意有 E=(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥, ? 1 1 1 1 3 3 1 2 ( ) ? ? ( )4 + ( )4 ? = P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= C4 .… 2 2 2 2 2 64 6分 (Ⅱ)X 的可能取值为 400,500,800,并且 1 1 11 1 1 1 3 1 3 3 1 3 ( ) ? ? ( ) 4 = ,P(X=500)= ,P(X=800)= C4 ( ) ? = , P(X=400)=1- C4 2 2 2 16 16 2 2 4 ?X 的分布列为 X 40 5 8 0 00 00 11 1 1 P 16 16 4 ……10 分
11 1 1 +500〓 +800〓 =506.25 ……12 分 16 16 4 (20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内 切,圆心 P 的轨迹为曲线 C (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 【命题意图】

EX=400〓

【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0), 半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ) ≧圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切, ?|PM|+|PN|= ( R ? r1 ) ? (r2 ? R) = r1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),其方程为
x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,?R≤2,
-9-

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ?当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 当 l 的倾斜角为 90 0 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 90 0 时,由 r1 ≠R知 l 不*行 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为Q,则
| QP | R | 3k | = , 可求得Q (-4, 0) , ?设 l : 由 l 于圆M相切得 y ? k ( x ? 4) , ? 1, | QM | r1 1? k 2

解得 k ? ?

2 . 4

当k =

x2 y 2 2 2 ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 , 时, 将y? x ? 2 代入 ? 4 3 4 4
18 ?4 ? 6 2 ,?|AB|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | = . 7 7

解得 x1,2 =

当 k =-

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= , 7 4 18 或|AB|= 2 3 . 7

综上,|AB|=

(21)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时, f ( x) ? kg ( x) ,求 k 的取值范围。 【命题意图】 本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、 函数单调性与导 数的关系、函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x ) = 2 x ? b , g ?( x ) = ex (cx ? d ? c) ,? a =4, b =2, c =2, d =2;……4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2ex ( x ? 1) , 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4x ? 2 ( x ? ?2 ) ,
F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ?1) ,

有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 ,
- 10 -

令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1)若 1 ? k ? e2 ,则-2< x1 ≤0,?当 x ? (?2, x1 ) 时, F ( x) <0,当 x ? ( x1 , ??) 时,F ( x) >0,即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在

x = x1 取最小值 F ( x1 ) , 而 F ( x1 ) = 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0,
?当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (2)若 k ? e2 ,则 F ?( x) = 2e2 ( x ? 2)(ex ? e2 ) , ?当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,? F ( x) 在(-2,+≦)单调递增,而 F (?2) =0, ?当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e2 ,则 F (?2) = ?2ke?2 ? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0, ?当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e2 ]. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定 的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡 上将所选题号后的 方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切 线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角*分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆 于 D。

(Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。 【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识,是容易题. 【解析】 (Ⅰ)连结DE,交BC与点G. 由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,≧∠ABE=∠CBE,?∠CBE=∠BCE,BE=CE, 又≧DB⊥BE,?DE是直径,∠DCE= 90 0 ,由勾股定理可得DB=DC.
- 11 -

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,?BG= 设DE中点为O,连结BO,则∠BOG= 60 o ,∠ABE=∠BCE=∠CBE= 30 o , ?CF⊥BF, ?Rt△BCF的外接圆半径等于
3 . 2

3 . 2

(23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ?x=4+5cost 已知曲线 C1 的参数方程为? ?y=5+5sint (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ=2sinθ。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方 程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化,是容易题.

? x ? 4 ? 5cos t 【解析】将 ? 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , y ? 5 ? 5sin t ? ? x ? ? cos ? 即 C1 : x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 ,将 ? 代入 x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 ? y ? ? sin ?
得,

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 ,
? C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 ; (Ⅱ) C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,
2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 由? 2 解得 ? 或? ,? C1 与 C2 的交点的极坐标 2 ? ?y ?1 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

? ) , (2, ) . 4 2 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【命题意图】已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;
分别为( 2,

?

a 1 (Ⅱ)设 a>-1,且当 x∈[- , )时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. 2 2
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本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围,是容易题. 【解析】当 a =-2时,不等式 f ( x) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,
? ? ?5 x , ? ? 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, ? ?3 x ? 6, ? ? x? 1 2

1 ? x ? 1, 2 x ?1

其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,?原不等式解集 是 {x | 0 ? x ? 2} .
a 1 (Ⅱ)当 x ∈[ ? , )时, f ( x) = 1 ? a ,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 4 a 1 a ? x ? a ? 2 对 x ∈[ ? , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2 4 ? a 的取值范围为(-1, ]. 3

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